Некоторое время назад прочитал книгу Ричарда Румельта . Меня заинтересовал фрагмент, в котором описывается проблема выбора из нескольких альтернатив. Которая, в свою очередь, затрагивает парадокс Кондорсе и теорему Эрроу. Если популярно, то коллективный выбор из более чем двух альтернатив подвержен странностям . Желательно выбирать из двух альтернатив. Любопытно, были ли знакомы с этими закономерностями в Англии и США, когда основывали свою политическую систему на двух партиях!? 🙂

Рис. 1. Предпочтения в выборе альтернатив

Скачать заметку в формате или

Нежелание или неспособность сделать выбор

Выбор означает умение отказываться от одних целей в пользу других. Если этот процесс в организации не выполняется, результат предсказуем - слабая аморфная стратегия. В начале 1992 года Ричард Румельт присутствовал на обсуждении стратегии, в котором принимали участие руководители высшего звена Digital Equipment Corporation (далее DEC); речь шла о будущем направлении развития компании. DEC по праву считалась в 1960–1970-е годы первопроходцем в области микрокомпьютеров и разработок удобных для пользователя операционных систем. Но 90-е годы рынок менялся и руководство DEC терзали вполне обоснованные сомнения: сможет ли компания выжить без кардинальных изменений.

На собрании присутствовал целый ряд влиятельных лиц, высказывавших много идей. Вы услышите голоса лишь трех воображаемых управляющих - назовем их Алек, Беверли и Крейг, - каждый из них высказался в пользу отдельного направления развития. Алек считал, что DEC была и останется ИТ-компанией, специализирующейся на интеграции аппаратного и программного обеспечения в практичные, удобные в применении системы.

Беверли высмеяла идею Алека, окрестив его стратегию «Железо». По ее мнению, «железо» стало обычным предметом потребления и вряд ли способно обеспечить существенное конкурентное преимущество. Единственный реальный ресурс, на базе которого DEC может и должна развиваться, - это взаимоотношения с клиентами. В связи с этим Беверли настаивала на стратегии, которая позволила бы эффективнее решать проблемы клиентов компании. Участники собрания назвали ее стратегию «Решения».

Крейг не поддерживал ни Алека, ни Беверли, поскольку был убежден, что сердце компьютерной индустрии - это полупроводниковые технологии. По его мнению, компании следует сосредоточить свои ресурсы на проектировании и создании новых полупроводников. Естественно, его стратегия получила название «Чипы». Считая, что в вопросах взаимоотношений с клиентами DEC не обладала отличительными компетенциями, Крейг заявил: «У нас довольно сложностей с решением собственных проблем». Алек и Беверли со стратегией Крейга не соглашались, так как полагали, что DEC никогда не сравнится с такими монстрами в области разработки и выпуска микрочипов, как IBM или Intel.

Не лучше было бы прекратить прения и попытаться реализовать все три стратегии? Нет, не лучше. Во-первых, когда люди хотят разрешить конфликт мнений, приняв все предлагаемые варианты, у них напрочь пропадает стимул дорабатывать свои аргументы и выдвигать новые. Только перспектива выбора вдохновляет их тщательно продумывать и четко описывать плюсы своих предложений и минусы идей оппонентов. Во-вторых, стратегии Крейга («Чипы») и Беверли («Решения») предполагали серьезные преобразования в компании; каждая из них требовала создания и развития принципиально новых навыков и методов работы. Обе эти рискованные альтернативы могли быть выбраны, только если бы не прошла стратегия «Железо», сохраняющая удобный статус-кво. И конечно, никто не стал бы одновременно реализовывать стратегии «Чипы» и «Решения», поскольку между ними нет точек соприкосновения. Это нецелесообразно и, по сути, невозможно - организовать и осуществить в компании сразу два фундаментальных преобразования.

В таблице (рис. 1) отображено, как Алек, Беверли и Крейг расставили три альтернативные стратегии развития DEC в порядке своих предпочтений. Данный рейтинг - яркий пример явления, известного под названием парадокс Кондорсе .

Руководители DEC не проводили официально никакого голосования, но в их неспособности сформировать стабильную коалицию большинства явно ощущался эффект парадокса Кондорсе. Когда любые два участника голосования пытались договориться, образуя в итоге большинство, один из них тут же испытывал искушение дезертировать и объединить силы с третьим, чтобы сформировать другое большинство, лучше соответствующее его желаниям и интересам. Предположим, что Беверли и Крейг создали коалицию для поддержки стратегии «Решения». Поскольку она была для Крейга вторым по предпочтению вариантом, он сразу почувствовал бы искушение переметнуться и объединиться с Алеком, создав большинство в поддержку своей стратегии «Чипы». Но и эта коалиция оказалась бы неустойчивой, ибо Алеку наверняка захотелось бы сговориться с Беверли, чтобы упрочить позиции «Железа», и так далее по циклу до бесконечности.

В 1998 году Compaq купила находившуюся в тяжёлом финансовом положении Digital Equipment Corporation. В свою очередь, компания Compaq прекратила самостоятельное существование в 2002 году, когда ее поглотила компания Hewlett-Packard. В 2015 г. компания Hewlett-Packard была разделена на две компании: HP Inc. и Hewlett Packard Enterprise. Идет подготовка к продаже!?

Ни одна избирательная система не идеальна

А вот еще одно объяснение теоремы Эрроу.

Согласно одному из ключевых утверждений в теории общественного выбора, ни одна последовательная и справедливая избирательная система не способна привести к разумному результату. Теорема Эрроу вначале устанавливает разумные условия голосования для того, чтобы собрать различные предпочтения индивидов в единое предпочтение группы.

Такие условия могут привести к абсурдным решениям или явно недемократичному их принятию. Вот как изложили это в своей книге «Анализируя политику» политологи Кен Шепсле и Марк Боншек: «Либо в группе доминирует один выделяющийся индивид, либо в ней складываются нетранзитивные предпочтения». По этой причине теорему иногда называют «диктаторской». Чтобы понять теорему Эрроу, нужно сперва разобраться, какой смысл экономисты и политологи вкладывают в понятие «нетранзитивные предпочтения».

Транзитивные соотношения - это соотношения больше/меньше в математике. Если a > b, и b > c, то a > c. Или старшинство игральных карт: если туз старше короля, а король старше валета, то туз старше валета. Нетранзитивные соотношения - это игра «камень–ножницы–бумага». Камень выигрывает у ножниц, ножницы выигрывают у бумаги, но при этом камень проигрывает бумаге.

Эрроу пытался создать систему голосования, которая была бы последовательной и справедливой, и которая приводила бы к транзитивным групповым предпочтениям при выборе из более чем двух вариантов. Но пытаясь создать такую систему голосования, он доказал, что она невозможна. Условия, которые задал Эрроу для создания логичной и справедливой системы голосования, могут быть описаны следующим образом:

• Каждый избиратель может иметь любой набор логичных предпочтений. Это требование называется «универсальной приемлемостью».
• Если каждый голосующий предпочитает А Б, то тогда вся группа выбирает А, а не Б. Это называется состоянием «единогласия».
• Если каждый голосующий предпочитает А Б, то любое изменение в предпочтениях, которое не влияет на это отношение, не должно влиять на групповое предпочтение. Например, если группа учёных единогласно решает, что Абрахам Линкольн был президентом лучше, чем Честер Артур, то их отношение к Биллу Клинтону никак не должно повлиять на это решение. Такое требование называется «независимостью от посторонних альтернатив».
• Отсутствие диктатора.

Теорема Эрроу утверждает, что, выбирая между более чем двумя вариантами, невозможно соблюсти все эти четыре условия, не создавая при этом цикличных групповых предпочтений. Что ещё ужаснее, транзитивность групповых предпочтений при соблюдении первых трёх условий неизбежно приводит к диктатуре.

Формальное доказательство теоремы потребовало бы углубиться в математику, но проблему можно легко проиллюстрировать мажоритарной избирательной системой. В ней люди голосуют только за наиболее предпочтительного кандидата, и кандидат, набравший наибольшее количество голосов, побеждает. Но проблема в том, что у победителя может быть меньше 50% голосов.

Рассмотрим президентские выборы в США 1992 года. Билл Клинтон выиграл выборы с 43% голосов избирателей. Дж. Буш–старший набрал около 38% голосов, а Росс Перо - около 19%. Теперь предположим, что все избиратели Перо проголосовали бы за Буша, если бы Перо не выдвигал свою кандидатуру. Тогда бы Буш выиграл выборы с 57% голосов. Этот результат нарушает условие независимости от посторонних альтернатив.

Аналогичные проблемы существуют и во всех других системах голосования, поэтому эксперты работают над тем, чтобы выяснить, какие условия можно смягчить, чтобы создать разумный порядок голосования. Большинство учёных считают условия «единогласного» согласия и отсутствия «диктата» священными. Таким образом, основное внимание сосредоточено на условии посторонних альтернатив и, что более важно, на том, как часто отдельные системы сталкиваются с проблемами.

Мажоритарная система, например, не так часто приводит к нетранзитивным предпочтениям, как вы могли бы подумать. Шепсле и Боншек подсчитали, что в выборах из трёх кандидатов с тремя избирателями только 12 договоренностей из 216 возможных привели к нетранзитивным групповым предпочтениям.

Некоторые утверждают, что другие системы голосования (не мажоритарные) являются менее склонными к ошибкам. Двухтуровая система и кембриджская система пропорционального представительства устраняют кандидатов с низким рейтингом (типа Перо), и голоса распределяются среди остальных кандидатов. По такому принципу организована процедура выбора города для проведения Олимпийских игр.

Каждый метод обладает преимуществами, но в каждом гарантированно есть и недостатки, парадоксальные результаты, необходимые для теоремы Эрроу. Практический вопрос для политиков и избирателей состоит в том, какая из этих избирательных систем реже всего приводит к подобным проблемам.

Альтернатива демократии?

…На носу президентские выборы, и у всех американцев на уме политика. Но экономисты, в отличие от большинства людей, равнодушны к голосованию. Ведь шансы на то, что индивидуальный голос повлияет на результат выборов, ничтожно малы. А значит, если вы не любитель выборов, вам нет и особого смысла голосовать. К тому же есть ряд теоретических выкладок. Самая известная из них - теорема Эрроу, которая показывает, сколь сложно изобрести политические системы (и механизмы голосования), которые надежным образом объединяли бы предпочтения избирателей.

Эти теоретические выкладки о плюсах и минусах демократии большей частью навевают зевоту. Однако прошлой весной мой коллега Глен Вейл высказал идею столь простую, что я даже поразился: как же она никому в голову не приходила? А именно: каждый избиратель может голосовать столько раз, сколько ему вздумается. Однако есть хитрость: при каждом голосовании нужно платить, и сумма выплаты составляет квадрат суммы поданных им голосов. Следовательно, каждый дополнительный голос стоит больше, чем предыдущий. Допустим, первый голос обойдется вам в доллар. Тогда за второй голос надо будет заплатить $4. За третий - $9, за четвертый - $16 и т. д. Сто голосов будут стоить $10,000. Значит, как бы вам ни нравился кандидат, бесконечное число раз вы голосовать не сможете.

Чем хороша эта система? Чем больше людям небезразличны результаты выборов, тем больше раз они будут голосовать. Система учитывает не только то, какого кандидата вы предпочитаете, но и то, насколько он предпочтительнее. С учетом предпосылок Глена, такой расклад Парето-эффективен: состояние ни одного члена общества не может быть улучшено без ухудшения положения других лиц.

Вы скажете, что это на руку богачам. Если сравнивать с нынешней системой - да, пожалуй. Но экономист может высказать непопулярное мнение: богачи и так потребляют больше остальных - почему бы им не потреблять больше политического влияния? Возьмем нынешнюю систему пожертвований на президентскую кампанию. Очевидно, что богачи уже обладают гораздо большим влиянием, чем бедняки. Поэтому ограничение предвыборных трат в связи с упомянутой системой может быть демократичнее, чем имеющаяся система.

Еще один возможный довод против: система Глена дает сильный стимул к подкупу избирателей. Гораздо дешевле купить первые голоса множества незаинтересованных граждан, чем платить за собственное сотое голосование. Как только мы будем оценивать голоса в долларах, люди начнут рассматривать голоса в свете финансовых операций и захотят их продавать и покупать.

Конечно, наша практика («один человек - один голос») давно устоялась. Поэтому весьма сомнительно, что идею Глена опробуют на крупных политических выборах. Но два других экономиста, Якоб Гуре и Цзинцзин Чжан, исследовали схожий («аукционный») подход в лаборатории. Он не просто хорошо работает - участники даже склонны предпочитать его традиционной системе голосования.

Данная система подходит для любого случая, когда люди делают выбор между двумя возможностями: скажем, какой из двух фильмов посмотреть, или в какой ресторан пойти, или какой телевизор купить для квартиры. В подобных ситуациях денежный фонд, собранный при голосовании, делится и перераспределяется между всеми участниками. Не хотите попробовать?

Мудрость толпы

В Джеймс Шуровьески приводит условия, необходимые для того, чтобы толпа была мудрой: разнородность, независимость и особый тип децентрализации. Разнородность и независимость важны потому, что самые верные коллективные решения - это продукт противоречий и споров, а не согласия или компромисса. В правильно организованной (разумной) группе, особенно перед лицом когнитивных проблем, участников не призывают изменить свои предложения для достижения приемлемого для всех решения. Вместо этого задействуются механизмы (скажем, рыночные цены или интеллектуальные системы голосования), позволяющие собрать воедино все мнения и вывести из них усредненные коллективные суждения, демонстрирующие не то, как думает какой-либо участник группы, а фактически то, как думают они все вместе. Парадоксально, но лучший способ для группы стать разумной - позволить каждому ее участнику думать и действовать как можно более независимо.

Система с выбыванием – не панацея

А вот что пишут на эту тему Авинаш Диксит и Барри Нейлбафф в книге . Самый распространенный метод голосования - простым большинством. Однако мажоритарная система выборов дает порой парадоксальные результаты. На самом деле принцип большинства вполне эффективен в процессе выборов с участием двух кандидатов. Проблемы начинают возникать, когда в избирательный бюллетень включены три кандидата или более. Во время президентских выборов 2000 года присутствие Ральфа Нейдера в избирательном бюллетене склонило ситуацию со стороны Эла Гора в сторону Джорджа Буша. У Нейдера было 97 488 голосов во Флориде, а Буш победил с перевесом 537 голосов. Не нужно особого воображения, чтобы понять: подавляющее большинство тех избирателей, которые голосовали за Нейдера, предпочли бы Гора Бушу.

Особенность мажоритарной системы впервые обнаружил герой Французской революции маркиз де Кондорсе (1743–1794). В его честь мы проиллюстрируем фундаментальный парадокс принципа простого большинства на примере революционной Франции. Кто должен был стать новым лидером Франции после падения Бастилии? Предположим, на этот пост претендуют три кандидата: господин Робеспьер (Р), господин Дантон (Д) и госпожа Лафарж (Л). Население разделено на три группы (левые, центристы и правые) со следующими предпочтениями (рис. 2).

Рис. 2. Предпочтения населения

В голосовании принимают участие 40 левых, 25 центристов и 35 правых избирателей. В выборе между Робеспьером и Дантоном одержит верх Робеспьер с 75 голосами против 25. В выборе между Робеспьером и Лафарж победит последняя с соотношением голосов 60 против 40. Но в выборе между мадам Лафарж и Дантоном победа достанется Дантону с перевесом 65 против 35 голосов.

Кондорсе предложил определять итоги выборов по следующему принципу: подавляющее большинство голосов имеет приоритет над незначительным перевесом голосов. Согласно этой логике, победу Робеспьера над Дантоном с перевесом голосов 75 против 25 следует считать более приоритетной по сравнению с победой мадам Лафарж над Робеспьером, полученной простым большинством голосов - 60 против 40. Следовательно, Робеспьер - самый лучший кандидат, а незначительное большинство избирателей, отдающих предпочтение мадам Лафарж перед Робеспьером, - это ошибка. Таким образом, Робеспьера необходимо объявить победителем.

По иронии судьбы во Франции сейчас применяется другая система, которую часто называют выборами в два тура. Если во время первого тура выборов ни один из кандидатов не получает абсолютного большинства голосов, два кандидата с максимальным числом голосов продолжают борьбу друг с другом во втором туре. Представьте себе, что произошло бы, если бы мы применили французскую систему выборов в нашем примере с тремя кандидатами. В первом раунде лидировал бы Робеспьер, получивший 40 голосов; мадам Лафарж заняла бы второе место (35 голосов), а Дантон оказался бы последним (25 голосов).

Учитывая эти результаты, Дантон будет исключен из дальнейшей борьбы, а два других кандидата, получившие больше голосов, встретятся во втором туре. Можно предположить, что во втором туре сторонники Дантона отдадут свои голоса мадам Лафарж, которая победит в выборах с перевесом голосов 60 против 40. Это еще раз подтверждает, что процедура голосования определяет исход выборов в не меньшей степени, чем предпочтения избирателей.

Процедура, которую разработал Кондорсе, позволяет решить проблему голосования во время первичных или даже всеобщих выборов с участием трех или более кандидатов. Кондорсе предлагал определять победителя выборов посредством попарного сравнения кандидатов. При такой системе голосования президентские выборы 2000 года проходили бы так: Буш против Гора, Буш против Нейдера, Гор против Нейдера. Победителем выборов стал бы кандидат с наименьшим максимумом голосов против него.

Представьте себе, что Гор победил бы Буша с соотношением голосов 51 против 49; Гор победил Нейдера с соотношением 80 против 20, а Буш победил Нейдера с соотношением 70 против 30 голосов. В таком случае максимальное число голосов против Гора было бы 49, а это меньше максимального числа голосов против Буша (51) или Нейдера (80). По существу, Гор стал бы победителем выборов по системе Кондорсе, поскольку он превзошел остальных кандидатов в противостоянии один на один.

ТЕОРЕМА НЕВОЗМОЖНОСТИ ЭРРОУ

(Arrow\"s impossibility theorem) Теорема, согласно которой в экокомической модели, включающей нескольких человек, голосование большинством голосов отнюдь не всегда порождает равновесную ситуацию. Пусть три лица, 1, 2 и 3, последовательно ранжируют по степени предпочтения три ситуации, А, В и С. Если лицо 1 ставит ситуации в порядке А, В, С, лицо 2 – В, С, А, а лицо 3 – С, А, В, то при принятии нестратегического решения большинством голосов оказывается, что ситуация А предпочтительнее ситуации В, В предпочтительнее С, а С предпочтительнее А. Заметим, однако, что в данной теореме ничего не говорится о неизбежности столь парадоксального положения и даже о его вероятности, а всего лишь утверждается, что оно возможно в принципе.

Теорема Эрроу

[править]

Материал из Википедии - свободной энциклопедии

Теорема Эрроу (также известна как «Парадокс Эрроу », англ. Arrow ’ s paradox ) - теорема о невозможности «коллективноговыбора». Сформулирована американским экономистом Кеннетом Эрроу в 1951 году.

Смысл этой теоремы состоит в том, что в рамках ординалистского подхода не существует метода объединения индивидуальных предпочтений для трёх и более альтернатив, который удовлетворял бы некоторым вполне справедливым условиям и всегда давал бы логически непротиворечивый результат.

Ординалистский подход основывается на том, что предпочтения индивидуума относительно предлагаемых к выбору альтернатив не могут измеряться количественно, а только качественно, то есть одна альтернатива хуже или лучше другой.

В рамках кардиналистского подхода, предполагающего количественную измеримость предпочтений, теорема Эрроу в общем случае не работает.

[Править]Формулировки [править]Формулировка 1951 года

Пусть есть N ≥2 избирателей, голосующих за n ≥3 кандидатов (в терминах теории принятия решений кандидатов принято называтьальтернативами ). У каждого избирателя есть упорядоченный список альтернатив. Система выборов - функция, превращающая набор из N таких списков (профиль голосования ) в общий упорядоченный список.

Система выборов может обладать такими свойствами:

Универсальность

Полнота

Монотонность

Если во всех N списках некоторая альтернатива x останется на месте или поднимется выше, а порядок остальных не изменится, в общем списке x должен остаться на месте или подняться.

Отсутствие диктатора

Нет избирателя, предпочтение которого определяло бы результат выборов независимо от предпочтений других избирателей.

Независимость от посторонних альтернатив

(англ. independence of irrelevant alternatives ) Если для любой пары альтернатив x и y профиль голосования изменится, оставив порядок x и y тем же, не изменится их порядок и в окончательном результате.

Теорема Эрроу (также известна как «Парадокс Эрроу», англ. Arrow’s paradox) - теорема о невозможности «коллективного выбора». Сформулирована американским экономистом Кеннетом Эрроу в 1951 году.

Смысл этой теоремы состоит в том, что в рамках ординалистского подхода не существует метода объединения индивидуальных предпочтений для трёх и более альтернатив, который удовлетворял бы некоторым вполне справедливым условиям и всегда давал бы логически непротиворечивый результат.

Ординалистский подход основывается на том, что предпочтения индивидуума относительно предлагаемых к выбору альтернатив не могут измеряться количественно, а только качественно, то есть одна альтернатива хуже или лучше другой.

В рамках кардиналистского подхода, предполагающего количественную измеримость предпочтений, теорема Эрроу в общем случае не работает.

ТЕОРЕМА НЕВОЗМОЖНОСТИ ЭРРОУ

(Arrow\"s impossibility theorem) Теорема, согласно которой в экокомической модели, включающей нескольких человек, голосование большинством голосов отнюдь не всегда порождает равновесную ситуацию. Пусть три лица, 1, 2 и 3, последовательно ранжируют по степени предпочтения три ситуации, А, В и С. Если лицо 1 ставит ситуации в порядке А, В, С, лицо 2 – В, С, А, а лицо 3 – С, А, В, то при принятии нестратегического решения большинством голосов оказывается, что ситуация А предпочтительнее ситуации В, В предпочтительнее С, а С предпочтительнее А. Заметим, однако, что в данной теореме ничего не говорится о неизбежности столь парадоксального положения и даже о его вероятности, а всего лишь утверждается, что оно возможно в принципе.

Формулировки

Формулировка 1951 года

Пусть есть N≥2 избирателей, голосующих за n≥3 кандидатов (в терминах теории принятия решений кандидатов принято называть альтернативами). У каждого избирателя есть упорядоченный список альтернатив. Система выборов - функция, превращающая набор из N таких списков (профиль голосования) в общий упорядоченный список.

Система выборов может обладать такими свойствами:

Универсальность

Монотонность

Если во всех N списках некоторая альтернатива x останется на месте или поднимется выше, а порядок остальных не изменится, в общем списке x должен остаться на месте или подняться.

Отсутствие диктатора

Нет избирателя, предпочтение которого определяло бы результат выборов независимо от предпочтений других избирателей.

Формулировка 1963 года

В формулировке 1963 года условия Эрроу таковы.

Универсальность

Отсутствие диктатора

Независимость от посторонних альтернатив

Эффективность по Парето, или принцип единогласия

если у каждого избирателя альтернатива x в списке стоит выше y, это же должно быть и в окончательном результате.

Доказательство теоремы Эрроу

Введем следующие обозначения:

≻i - предпочтения i-го агента; [≻"] - профиль предпочтений (кортеж, элементами которого являются предпочтения всех агентов);

W: Ln → L - функция общественного благосостояния; ≻W - коллективные предпочтения.

Обозначим O - множество исходов, которые каждый агент ранжирует в соответствии со своими предпочтениями.

Дадим формальные определения:

Парето эффективность

W парето эффективна, если для любых исходов o1, o2 ∈ O, ∀i (o1 ≻i o2) ⇒ (o1 ≻W o2)

Независимость от посторонних альтернатив

W независима от посторонних альтернатив, если для любых исходов o1, o2 ∈ O и для любых двух профилей предпочтений [≻"] и [≻"] ∈ Ln, ∀i (o1 ≻i" o2 ⇔ o1 ≻i" o2) ⇒ (o1 ≻W([≻"]) o2 ⇔ o1 ≻W([≻"]) o2)

Отсутствие диктатора

Считаем, что для W отсутствует диктатор, если не существует такого i, что ∀ o1, o2 ∈ O (o1 ≻i o2 ⇒ o1 ≻W o2)

Теорема Эрроу

Если |O| ≥ 3, то любая Парето эффективная, независящая от посторонних альтернатив функция общественного благосостояния W имеет диктатора.

Доказательство проведем в 4 этапа.

Этап 1. Утверждение

Если каждый агент помещает исход b в самый верх или самый низ своего списка предпочтений, то и в ≻W исход b тоже будет либо вверху, либо внизу списка.

Возьмем произвольный профиль [≻] такой, что в нем для всех агентов i исход b расположен либо вверху, либо внизу списка предпочтений ≻i. Теперь допустим, что наше утверждение неверно, т.е. существуют такие a,c ∈ O, что a ≻W b и b ≻W c. Изменим тогда профиль [≻] так, чтобы для всех агентов выполнялось c ≻i a, не изменяя при этом ранжирования остальных исходов. Обозначим полученный профиль [≻"]. Так как после такой модификации исход b для каждого агента все равно останется либо на самой верхней, либо на самой нижней позиции в списке его предпочтений, то из независимости W от посторонних альтернатив можно заключить, что и в новом профиле a ≻W b и b ≻W c. Следовательно, в силу транзитивности ≻W получаем a ≻W c. Но мы предположили, что для всех агентов c ≻i a, тогда в силу парето эффективности должно быть c ≻W a. Полученное противоречие доказывает утверждение.

Этап 2. Утверждение

Существует агент, который является центральным в том смысле, что, изменив свой голос, он может переместить исход b из самой нижней позиции в списке ≻W в самую верхнюю позицию в этом списке.

Рассмотрим любой профиль предпочтений, в котором все агенты расположили исход b в самом низу своего списка предпочтений ≻i. Ясно, что и в ≻W исход b находится на самой нижней позиции. Пусть все агенты начали по очереди переставлять исход b с самой нижней на самую верхнюю позицию в своих списках предпочтений, не меняя при этом ранжирования остальных исходов. Пусть n* - агент, который переставив таким образом b, изменил ≻W. Обозначим [≻1] - профиль предпочтений как раз до того, как n* переместил b, а [≻2] - профиль предпочтений сразу же после того, как n* переместил b. Таким образом, в [≻2] исход b изменил свою позицию в ≻W, при этом для всех агентов b находится либо на самой верхней, либо на самой нижней позиции ≻i. Следовательно, в силу утверждения, доказанного на Этапе 1, в ≻W исход b занимает самую верхнюю позицию.

Этап 3. Утверждение

, не включающими в себя b.

Выберем из пары любой элемент. Без потери общности, выберем a. Далее из профиля [≻2] построим [≻3] следующим образом: в ≻n* переместим исход a на первую позицию, оставив остальное ранжирование неизменным; произвольным образом для всех остальных агентов поменяем местами друг с другом a и c. Тогда, как и в [≻1] получим, что a ≻W b (в силу независимости от посторонних альтернатив) и, как и в [≻2] получим, что b ≻W c. Тогда a ≻W c. Теперь построим профиль предпочтений [≻4] следующим образом: для всех агентов поместим исход b на произвольную позицию в списке предпочтений ≻i, для агента n* поместим исход a в произвольную позицию до исхода с. Ясно, что в силу независимости от посторонних альтернатив a ≻W c. Мы получили, что все агенты, кроме n* имеют совершенно произвольные профили предпочтений, а результат a ≻W c получился исходя только лишь из предположения, что a ≻n* c.

Этап 4. Утверждение

n* - диктатор над всеми парами .

Рассмотрим какой-нибудь исход с. В силу Этапа 2 существует некоторый центральный агент n** для этого исхода, он же является диктатором для всех пар , где, в частности, A = a, B = b. Но n* и сам может менять ранжирование в ≻W (это рассматривалось на Этапе 2). Следовательно, можно заключить, что n** совпадает с n*. Доказательство завершено.

«Суть этой теоремы состоит в том, что любой коллективный выбор, удовлетворяющий вполне разумным аксиомам, может обеспечить наилучшую альтернативу лишь в том случае, если он содержит черты принудительности, или диктаторства. Теорема невозможности Эрроу очень остро поставила вопрос о природе экономической науки, а вместе с ней и экономической этики. Она имеет ограничительный характер, ибо выявляет границы состоятельности экономики».

Канке В.А., Философия науки: краткий энциклопедический словарь, М., «Омега-Л», 2008 г., с. 309.

Кеннет Эрроу из Стенфордского университета поставил вопросов наиболее общем виде: можно ли создать такую систему голосования, чтобы она была одновременно рациональной (без противоречий), демократической (один человек - один голос) и решающей (позволяла осуществить выбор)?

Вместо попыток изобретения такой системы Эрроу предложил набор требований, аксиом, которым эта система должна удовлетворять. Эти аксиомы были интуитивно понятны, приемлемы с точки зрения здравого смысла и допускали математическое выражение в виде некоторых условий.

На основе этих аксиом Эрроу попытался в общем виде доказать существование системы голосования, удовлетворяющей одновременно трём перечисленным выше принципам: рациональная, демократическая и решающая.

Первая аксиома Эрроу требует, чтобы система голосования была достаточно общей для того, чтобы учитывать все возможные распределения голосов избирателей. Интуитивно это требование вполне очевидно. Заранее нельзя предсказать распределение голосов. Совершенно необходимо, чтобы система была действенной при любых предпочтениях избирателей. Эта аксиома получила название аксиомы универсальности.

Ещё более очевидной с точки зрения здравого смысла является вторая аксиома Эрроу: аксиома единогласия, в соответствии с ней необходимо, чтобы коллективный выбор повторял в точности единогласное мнение всех голосующих. Если, например, каждый из голосующих считает, что кандидат А лучше кандидата В, то и система голосования должна приводить к этому результату.

Третья аксиома Эрроу получила название независимости от несвязанных альтернатив . Пусть избиратель считает, что из пары кандидатов А и В лучшим является А. Это предпочтение не должно зависеть от отношения избирателя к прочим кандидатам. Третья аксиома достаточно привлекательна, но не столь очевидна с точки зрения каждодневного человеческого поведения. Так, в одноой из роабот приводится убедительный пример нарушения этой аксиомы. Посетитель ресторана первоначально сравнивает блюдо А и В и хочет заказать А, потому что приготовление блюда В требует высокой квалификации повара, а, по его мнению, такой повар вряд ли есть в данном ресторане. Вдруг он замечает в меню блюдо С - очень дорогое и также требующее высокого искусства приготовления. Тогда он выбирает блюдо В, считая, что повар умеет хорошо готовить.

Часто третья аксиома Эрроу нарушается судьями в фигурном катании. Давая сравнительные оценки двум сильным фигуристам в одиночном катании, они стараются учесть возможность хорошего выступления третьего сильного кандидата, оставляя ему шансы стать победителем. Отличное выступление в произвольном катании фигуриста С, имевшего ранее не очень высокий результат в обязательной программе, может повлиять на оценки фигуристов А и В. Если А имел отличный результат в обязательной программе, судьи иногда ставят его ниже фигуриста В при примерно равном выступлении, чтобы повысить шансы фигуриста С.

Тем не менее, сама возможность предъявления требования независимости к системе голосования в качестве обязательного не вызывает сомнения.

Четвёртая аксиома Эрроу носит название аксиомы полноты: система голосования должна сравнить любую пару кандидатов, определив, кто из них лучше. При этом имеется возможность объявить двух кандидатов равнопривлекательными. Требование полноты не кажется слишком строгим для системы голосования.

Пятая аксиома Эрроу является уже знакомым условием - транзитивности: если в соответствии с мнением избирателей кандидат В не лучше кандидата А (хуже или эквивалентен), кандидат С не лучше кандидата В, то кандидат С не лучше кандидата А. Считается, что система голосования, не допускающая нарушения транзитивности, ведет себя рациональным образом.

Определив пять аксиом - желательных свойств системы голосования, Эрроу доказал, что системы, удовлетворяющие этим аксиомам, обладают недопустимым с точки зрения демократических свобод недостатком: каждая из них является правилом диктатора - личности, навязывающей всем остальным избирателям свои предпочтения.

Результаты, выявленные Эрроу, получили широкую известность. Они развеяли надежды многих экономистов, социологов, математиков найти совершенную систему голосования. Требование исключения диктатора приводит к невозможности создания системы голосования, удовлетворяющей всем аксиомам Эрроу.

Поэтому результат Эрроу называют «теоремой невозможности».

Парадокс Кондорсе.

Аксиома транзитивности, использующаяся при построении функции индивидуальной полезности неприменима к совокупности потребителей. Факт нетранзитивности групповых оценок, определяемых на основе предпочтений большинства, называется парадоксом Кондорсе.

Допустим, три студента – Антон, Борис и Семен решили провести вечер вместе, и им остается решить, где в театре, диско или в кино. В соответствии с гипотезой порядкового измерения полезности каждый из них упорядочил свои предпочтения так:

Антон: театр диско кино,

Борис: диско кино театр,

Семен: кино театр диско.

На основе этих данных построим порядковую функцию общественной полезности исходя из предпосылки, что «общество» предпочитает ту альтернативу, за которую высказывается большинство. При выборе между театром и диско большинство выскажется за театр. Выбор между диско и кино обнаружит, что первую общество предпочитает второму. А при сравнении кино с театром лучше окажется кино, несмотря на то, что оно было признано хуже диско, а последняя – хуже театра. Возник «порочный круг» выбора на основе большинства голосов.

Поскольку общественные предпочтения нетранзитивны, то общественный выбор зависит от очередности постановки альтернатив на голосование.

Суть проблемы представлена наглядно на рисунке 3. Все три альтернативы имеют одинаковую сумму рангов, и поэтому нет абсолютно лучшего варианта.

Рисунок 3. Нетранзитивность коллективных предпочтений.

Таким образом, «общественными предпочтениями», сформированными на основе мнения большинства или путем суммирования индивидуально ранжированных альтернатив, можно манипулировать, меняя очередность голосования или добавляя новые компоненты в «потребительскую корзину» общества.

Теорема Эрроу о демократических решениях.

Свойства алгоритма однозначного определения общественных предпочтений:

1. Если существует множество полностью упорядоченных, рефлексивных и транзитивных индивидуальных предпочтений, то общественное предпочтение должно обладать этими же свойствами;

2. Если каждый член общества предпочитает альтернативу А альтернативе В, то и общество должно признать, что А лучше В;

3. Если по крайней мере один член общества предпочитает альтернативу Х альтернативе Y при безразличии к этим альтернативам всех других членов общества, то оно должно выбрать Х;

4. Выбор между альтернативами А и В должен зависеть только от сравнительной оценки индивидами именно этих альтернатив, а не от того, как данные компоненты потребительской корзины ранжированы относительно других ее компонентов.

Однако, как доказал К.Эрроу, при демократическом принятии коллективного решения нельзя создать алгоритм упорядочения предпочтений, обладающий одновременно всеми четырьмя выше перечисленными свойствами. Поэтому из совокупности индивидуальных предпочтений нельзя сконструировать критерий общественной полезности, исключающий возможность манипулирования общественными предпочтениями. Этот вывод назван теоремой невозможности Эрроу.

Трудности, возникающие при построении функции общественного благосостояния, связаны с неразрешимостью проблемы справедливого распределения, поэтому возникла идея избрать такой критерий оценки общественного благосостояния, который не затрагивал бы распределения благосостояния между членами общества. Такой критерий был предложен В.Парето. В соответствии с ним некоторое событие улучшает состояние экономики, если в результате него повышается благосостояние хотя бы одного индивида без ухудшения благосостояния других. Если при некотором состоянии экономики никакие изменения в производстве и распределении не могут повысить благосостояние хотя бы одного субъекта, не снижая благосостояния других, то такое состояние называется эффективным (оптимальным) по Парето. Критерий эффективности Парето не требует сравнения или сложения индивидуальных полезностей.

Первая теорема теории общественного благосостояния. Вторая теорема теории общественного благосостояния. Потери эффективности, связанные с монополией. Общее равновесие и налоги. Теория квазиоптимума.

Первая теорема теории общественного благосостояния.

Первая теорема теории общественного благосостояния гласит: состояние конкурентного равновесия является Парето-эффективным. Доказательство ее проведем по­этапно.

Парето-эффективность в обмене. Рассмотрим сперва экономику без производства. Для использования графических иллюстраций предположим, что общество состоит лишь из двух потребителей (I, II), каждый из которых имеет первоначальный запас двух благ (А, В). Перво­начальное распределение благ может не соответствовать предпочтениям потребителей, и тогда за счет доброволь­ного обмена они смогут повысить свое благосостояние при заданных запасах благ. Наглядно такая ситуация мо­жет быть представлена в виде диаграммы («коробки») Эджуорта (рисунок 4).

Рисунок 4. Коробка Эджуорта.

Длина сторон коробки определяется заданным количе­ством каждого из благ. На нижней стороне коробки откла­дывается количество блага А, находящееся у потребителя I, а на левой стороне - принадлежащее ему же количество блага В. Верхняя и правая стороны коробки соответственно используются для отображения запасов потребителя II. Ка­ждая точка в коробке отражает определенное распределе­ние благ между индивидами. Предположим, что первона­чальное распределение представлено точкой H . Это значит, что в исходном состоянии индивид I имел блага А и блага B, а индивид II - блага А и блага В.

Рисунок 5. Карты безразличия в коробке Эджуорта.

Используем стороны и в качестве осей координат карты безразличия потребителя I, а карту без­различия потребителя II изобразим перевернутой на 180° на сторонах и . В результате получим рисунок 5.

Теперь каждая точка в коробке Эджуорта представляет 6 переменных: количества благ А и В у каждого из потре­бителей, а также их уровень благосостояния, который ха­рактеризуется отдаленностью от нуля кривой безразличия, проходящей через данную точку.

Посмотрев на рисунок 5, можно заключить, что первона­чальное распределение благ, представленное точкой H, не является наилучшим с точки зрения обоих потребителей. Если потребитель I предложит потребителю II количества блага В в обмен на количества блага А, то оба повысят свое благосостояние. Об этом свидетельствует то, что точка К, которая представляет распределение благ после взаимовыгодного обмена, лежит выше кривых без­различия, характеризующих исходное благосостояние ка­ждого потребителя.

Но не только точка К представляет для обоих участни­ков обмена более предпочтительную по сравнению с перво­начальной аллокацию. Переход из H в любую точку за­штрихованной области рисунка 6, на котором представлен увеличенный фрагмент рисунка 5, повышает благосостояние каждого из потребителей. Это область взаимовыгодных сделок.

Рисунок 6. Область взаимовыгодных сделок.

При аллокации, представ­ленной точкой К, возможен дальнейший взаимовыгодный обмен за счет выбора одной из точек в области пересечения кри­вых безразличия U 1 и U 2 . И лишь тогда, когда распределе­ние благ после обмена будет представлять точка, являющаяся точкой касания некото­рой пары кривых безразличия обоих потребителей (точка L на рисунок 7), дальнейшее повышение их благосостояния за счет обмена невозможно. Тем самым будет достигнута Парето-эффективность в обмене.

Рисунок 7. Парето-эффективность в обмене.

Достижение эффективности по Парето в обмене озна­чает, что за счет перераспределения заданного количества благ между потребителями нельзя повысить благосостоя­ние хотя бы одного из них, не снижая благосостояния дру­гих.

Обратим внимание на то, что в результате перехода из точки H в точку L, осуществленного посредством добро­вольного обмена между потребителями, возросло благосо­стояние обоих участников обмена, а значит, и благосостояние общества. Следовательно, не только производство, но и обмен благ повышает благосостояние общества.

Так как углы наклона кривых безразличия харак­теризуют предельную норму субституции двух благ, то формальным признаком существования Парето-эффективности в обмене является достижение равенства

Достижение Парето-эффективности в обмене описывается следующим равенством:

В отличие от бартера обмен на конкурентном рынке ка­ждому первоначальному распределению заданного количе­ства благ предопредёляет только одну Парето-эффективную аллокацию. Но поскольку одно и то же количество благ можно по-разному распределить между потребителями, то каждому фиксированному объему благ соответствует мно­жество Парето-эффективных состояний в обмене.

Рисунок 8. Кривая потребительских возможностей.

На рисунке 8 оно отображено линией проходящей через все точки касания кривых безразличия в коробке Эджуорта. Эта линия называется кривой потребительских возможно­стей, так как каждая ее точка показывает максимально воз­можный уровень удовлетворения потребностей одного по­требителя при заданном уровне удовлетворения потребно­стей другого.

Парето-эффективность в производстве. Производство является эффективным по Парето, если при заданных объ­емах производственных ресурсов за счет их перераспреде­ления нельзя увеличить производство хотя бы одного блага без уменьшения производства других благ.

Допустим, что для производства благ А и В использу­ются два взаимозаменяемых фактора - труд (L) и капи­тал (К). Заданы объемы труда и капитала и известна тех­нология производства каждого из благ. Нужно решить, как распределить имеющиеся объемы труда и капитала между производством обоих благ для достижения Парето-эффективности в производстве. Для наглядного решения этой задачи также используем диаграмму Эджуорта. На рисунке 9 длина сторон коробки Эджуорта соответствует имеющимся количествам труда и капитала. В системе ко­ординат (K A ,L A) проведем семейство изоквант, представля­ющих технологию производства блага А. Соответственно в системе координат (К B ,L B) в виде семейства изоквант

Рисунок 9. Парето-эффективность в производстве.

отобразим технологию производства блага В. Теперь любая точка в коробке Эджуорта представляет 6 параметров: ко­личества капитала и труда, используемые при производстве каждого из благ, и объемы их производства. Так, точка С указывает на то, что при производстве блага А занято капитала и труда, что позволяет произвести 30 ед. этого блага; оставшееся количество факторов ()исполь­зуется для выпуска блага В, что при данной технологии позволяет произвести 25 ед. этого блага.

На основе рассуждений аналогичных тем, которые при­менялись при анализе Парето-эффективности в обмене, можно убедиться в том, что Парето-эффективность в про­изводстве достигается только при таких вариантах рас­пределения труда и капитала, которые соответствуют точ­кам касания изоквант в коробке Эджуорта. Так, пере­ход от распределения, представленного точкой С, к рас­пределению, представленному точкой D, увеличит выпуск блага В с 25 до 35 ед. при сохранении выпуска блага А в размере 30 ед. Формальным признаком достижения Парето-эффективности в производстве является равенство так как углы наклона изоквант от­ражают предельные нормы технической замены факторов, а в точках касания изокванты имеют один и тот же наклон.

Соединив все точки касания изоквант в коробке Эджуорта, получим линию, представляющую множество Парето-эффективных вариантов использования заданного количества факторов производства. Эта линия называется линией производственных возможностей, так как каждая ее точка указывает на максимально возможное количе­ство производства одного блага при заданном объеме про­изводства другого. Для целей экономического анализа ли­нию производственных возможностей часто бывает удобней представлять в системе координат () на рисунке 10.

Выпуклость линии производственных возможностей от начала координат указывает на то, что за счет сокраще­ния выпуска каждой следующей единицы одного из благ можно получить все меньшее количество другого блага.

Рисунок 10. Кривая производственных возможностей.

Если блага производятся фирмами, максимизирую­щими прибыль и приобретающими факторы по экзогенно заданным ценам, как это имеет место в условиях совершен­ной конкуренции, то каждая фирма обеспечит такое сочета­ние труда и капитала, при котором , а так как при совершенной конкуренции все фирмы покупают факторы производства по одинаковым ценам, то . Следовательню, в условиях совер­шенной конкуренции производство благ является Парето-эффективным.

Первая теорема теории благосостояния утверждает, что конкурентное равновесие Парето-эффективно. А верно ли обратное утверждение: для любой Парето-эффективной ал­локации всегда можно найти вектор цен, при котором обес­печивается общее экономическое равновесие? Для ответа на этот вопрос следует рассмотреть ситуацию, которая иллюстрирует Парето – эффективное состояние в наиболее простом меновом хозяйстве с двумя потребителями и двумя благами. В этом состоянии кривая безразличия одного потребителя касается кривой безразличия другого. Чтобы данное состояние было одновременно состоянием конкурентного равновесия, нужен вектор цен, при котором потребители будут спрашивать наборы благ, соответствующие точке касания их кривых безразличия. Такой вектор цен найдется, если предпочтения потребителей «выпуклы», то есть если кривые безразличия, представляющие предпочтения потребителей, выпуклы к началу координат. Следовательно, если предпочтения всех потребителей «выпуклы», то любой Парето – эффективной аллокации можно подобрать систему цен, обеспечивающую общее экономическое равновесие. В этом суть второй теоремы общественного благосостояния. Выпуклость предпочтений является необходимым условием справедливости второй теоремы общественного благосостояния.

Конкурентный рынок через систему цен, отражающих предельные оценки затрат и результатов хозяйственной деятельности, предоставляет всем экономическим субъектам достоверную информацию о том, во что обществу обходятся принимаемые ими решения. Благодаря этому деятельность обособленных производителей, направляемая стремлением к максимизации собственной прибыли, приводит к Парето – эффективному состоянию в обмене и в производстве. Через ценообразование на факторы производства рынок осуществляет также функциональное распределение национального дохода. Поскольку на конкурентном рынке цена фактора равна его предельной производительности, то доходы участников рыночного хозяйства определяются по экономическим результатам функционирования принадлежащих им факторов производства. Из- - за различий в объемах и качестве имеющихся у каждого члена общества факторов производства эффективным по Парето может оказаться состояние, при котором одному проценту населения достигается 99 % национального дохода. Если это не соответствует представлению общества о социальной справедливости, то государство может осуществлять перераспределение богатства между гражданами. Однако при этом деятельность государства не должна вносить коррективы в систему рыночных цен, чтобы не нарушать аллокационные функции рынка. Наиболее подходящими для этой цели средствами являются паушальное налогообложение и трансфертные выплаты, которые не препятствуют становлению Парето – эффективного состояния экономики. С позиций экономической теории разумней повысить пособие по бедности, чем дотировать цены на «продукты первой необходимости» для того, чтобы их могли покупать и наиболее бедные слои населения.

В то же время нужно иметь в виде, что перераспределительная деятельность государства сопровождается снижением результативности общественного производства. Изъятие части доходов от хозяйственной деятельности в виде налогов снижает экономическую активность производителей. С другой стороны, налоги оказывают воздействие и на поведение потребителей. Стремясь уменьшить налоговое бремя, потребители выбирают товары – заменители. Растущий эффект взаимозаменяемости приводит к искажениям совокупного спроса и в конечном счете к потерям эффективности.

Допустим, что вводится налог, который уплачивают продавцы. Тогда чистая цена равна рыночной за вычетом суммы налога:

Р р – чистая цена;

P t – розничная цена с налоговой надбавкой;

T – налоговая надбавка к цене, %

Р р >Р t , тогда общество несет потери эффективности, налог мешает достичь оптимума по Парето.

Теория квазиоптимума , утверждает, что в случае, когда в одной отрасли (или группе отраслей) искажения не могут быть устранены, лучше отказаться от достижения максимума эффективности в другой отрасли (или группе отраслей), с тем чтобы сбалансировать экономику в целом.

1. 50 лекций по микроэкономике. Т.2. СПб.: Экономическая школа, 2000. Лекция 43-44.

2. Воркуев Б.Л. Количественные методы исследования в микро- и макроэкономике. М.: ТЕИС. 2007

3. Гребенников П.И. Леусский А.И., Тарасевич Л.С. Микроэкономика. Изд. СПБУЭиФ, 1996. Гл.11.4.

4. Иванов Ю. О показателях экономического благосостояния // Вопросы экономики. 2003. № 2

5. Никифоров А.А., Антипина О.Н., Миклашевская Н.А. Макроэкономика: научные школы, концепции, экономическая политика. – М.: Дело и сервис, 2007

6. Нуреев Р.М. Основы экономической теории. Микроэкономика. М.,1997.Гл.16.4, 16.5.

7. Петросян Д. Социальная справедливость в экономических отношениях: институциональные аспекты // Вопросы экономики. 2007. №2.

8. Хайман Д.Н. Современная микроэкономика: анализ и применение. Т.2. М., 1992.Гл.18.

9. Электронный учебник: Экономика: вводный курс. Введение. Общее экономическое равновесие и благосостояние. // edinp.

10. Экономическая теория. / под ред. Белокрыловой О.С Ростов н/Д: Феникс, 2006.