Парадокс теории общественного выбора впервые описан маркизом Кондорсе в 1785 году, которая в 50-х годах прошлого столетия была удачно обобщена американским ученым экономистом К. Arrow. Теорема Эрроу отвечает на очень простой вопрос в теории коллективного принятия решений. Скажем, есть несколько вариантов для выбора в вопросах политики, публичных проектов или распределения доходов и есть люди, чьи предпочтения определяют этот выбор.
Вопрос состоит в том, какие существуют процедуры для качественного определения выбора. И как узнать о предпочтениях, о коллективном или социальном упорядочении альтернатив, от лучших к худшим. Ответ Arrow на этот вопрос многих удивил.
В теореме Эрроу говорится, что таких процедур вообще нет - в любом случае они не отвечают определенным и вполне разумным предпочтениям людей. Техническая структура, в которой Эрроу дал ясный смысл проблеме социального заказа, и его строгий ответ в настоящее время широко используются для изучения проблем в социальной экономике. Сама теорема легла в основу современной теории общественного выбора.
Теорема Эрроу показывает, что если у избирателей есть хотя бы три альтернативы, то не существует избирательной системы, которая могла бы трансформировать выбор отдельных людей в общественное мнение.
Шокирующее заявление исходило от экономиста и нобелевского лауреата Кеннета Джозефа Эрроу, который продемонстрировал этот парадокс в докторской диссертации и популяризировал его в книге «Социальный выбор и индивидуальные ценности», изданной в 1951 году. Оригинальная статья имеет название «Трудности в концепции социального обеспечения».
В теореме Эрроу говорится, что невозможно разработать избирательную систему с порядком, которая всегда соответствовала бы справедливым критериям:
Хотя американский экономист Кеннет Эрроу получил Нобелевскую премию по экономике, работа принесла больше пользы для развития социальных наук, поскольку теорема «О невозможности» Эрроу положила начало совершенно новому направлению экономики - социальному выбору. Эта отрасль пытается математически проанализировать принятие совместных решений, в частности в области систем государственного социального управления.
Выбор - это демократия в действии. Люди идут на выборы и выражают свои предпочтения, и в итоге, предпочтения многих людей должны объединиться, чтобы принять совместное решение. Вот почему выбор метода голосования очень важен. Но есть ли идеальное голосование в действительности? Согласно результатам теории Эрроу, полученным в 1950 году, ответ отрицательный. Если под «идеальным» подразумевается преференциальный метод голосования, который соответствует критериям, определенных разумных методов голосования.
Предпочтительным методом голосования является ранжирование, когда избиратели оценивают всех кандидатов в соответствии с предпочтениями, и на основе этих оценок получается результат: еще один список всех кандидатов, которые должны быть представлены общей волей людей. По теореме «О невозможности» Эрроу можно указать разумный способ голосования:
По условиям теоремы Эрроу выходит, что в случае выборов с тремя и более критериями, не существует функций социального выбора, которые бы одновременно подходили бы для ND, PE и IIA.
Необходимость агрегирования предпочтений проявляется во многих областях жизнедеятельности людей:
По условиям теоремы Эрроу различают порядок предпочтений для данного набора параметров (результатов). Каждая единица в обществе или каждый присваивает определенный порядок предпочтений в отношении набора результатов. Общество ищет систему голосования на основе рейтинга, называемую функцией социального обеспечения.
Это правило агрегирования предпочтений преобразует набор профиля предпочтений в один глобальный публичный порядок. Утверждение Эрроу гласит, что, если в руководящем органе есть, по крайней мере, два избирателя и три критерия выбора, невозможно создать функцию социального обеспечения, которая будет удовлетворять всем этим условиям сразу.
Для каждого набора индивидуальных предпочтений избирателей функция социального обеспечения должна выполнять уникальный и всеобъемлющий рейтинг общественного отбора:
Выбор между X и Y связан исключительно с предпочтениями индивида между X и Y - это независимость в парах (попарная независимость), согласно теореме Эрроу «О невозможности демократии». При этом изменение оценки человека нерелевантных альтернатив, расположенных вне таких групп, не оказывает влияния на социальную оценку данного подмножества. Например, представление третьего кандидата на выборах с двумя кандидатами не оказывает влияние на результат выборов, если только третий кандидат не победит.
Обществу присуще однообразие и положительное сочетание социальных и индивидуальных ценностей. Если человек меняет свой порядок предпочтений, продвигая определенный вариант, то порядок предпочтений общества должен соответствовать тому же варианту без изменения. Человек не должен быть в состоянии навредить опциону, оценивая его выше.
В теореме «О невозможности» эффективность и справедливость в обществе обеспечиваются через суверенитет гражданина. Каждый возможный общественный порядок предпочтений должен быть достижим с помощью некоторого набора индивидуальных порядков предпочтений. Это означает, что функция социального обеспечения сюръективна - у нее неограниченное целевое пространство. Более поздняя (1963 год) версия теоремы Эрроу заменила критерии монотонности и отсутствия наложения.
Если каждый человек предпочитает определенный вариант другому, то порядок социальных предпочтений также должен это делать. Необходимо, чтобы функция социального обеспечения была минимально чувствительной к профилю предпочтений. Эта поздняя версия является более общей и имеет несколько слабые условия. Аксиомы однообразия, отсутствие перекрытия вместе с IIA , обозначают эффективность Парето. В то же время она не предполагает наложения IIA и не подразумевает монотонность.
IIA имеет три цели:
Эффективность по Парето, названная в честь итальянского экономиста и политолога (1848-1923 гг.), используется в неоклассической экономике наряду с теоретической концепцией совершенной конкуренции в качестве ориентира для оценки эффективности реальных рынков. Нужно отметить, что ни один из результатов не достигается за пределами экономической теории. Гипотетически, если бы существовала совершенная конкуренция и ресурсы использовались с максимальной эффективностью, то у каждого был бы самый высокий уровень жизни, или эффективность по Парето.
На практике невозможно предпринять какие-либо социальные действия, такие как изменение экономической политики, без ухудшения положения хотя бы одного человека, поэтому концепция улучшения по Парето нашла более широкое применение в экономике. Улучшение по Парето происходит, когда изменение в распределении никому не вредит и помогает, по крайней мере, одному человеку, учитывая первоначальное распределение товаров для группы лиц. Теория предполагает, что улучшения по Парето будут продолжать увеличивать ценность для экономики до тех пор, пока не будет достигнуто равновесие по Парето, когда больше никаких улучшений не может быть сделано.
Пусть A будет набором результатов, N количеством избирателей или критериев принятия решения. Обозначают множество всех полных линейных упорядочений из А на L (A). Строгая функция социального обеспечения (правило агрегации предпочтений) является функцией которая, агрегирует предпочтения избирателей в разовом порядке предпочтения на A.
N - кортеж (R 1, ..., R N) ∈ L (A) N предпочтений избирателей называется профилем предпочтений. В своей самой сильной и простой форме теорема Эрроу о невозможности гласит, что всякий раз, когда множество возможных альтернатив A имеет более 2 элементов, следующие три условия становятся несовместимыми:
Хотя теорема «О невозможности» доказана математически, ее часто выражают нематематическим способом с помощью такого утверждения, что ни один из методов голосования не является справедливым, каждый ранжированный метод голосования имеет недостатки, или единственный метод голосования, который не является ошибочным, - это диктатура. Эти утверждения являются упрощением результата Эрроу, который не всегда считается верным. Теорема Эрроу утверждает, что детерминированный механизм преимущественного голосования, то есть тот, в котором порядок предпочтений является единственной информацией при голосовании, а любой возможный набор голосов дает уникальный результат, не может соответствовать одновременно всем условиям, указанным выше.
Различные теоретики предлагали ослабить критерий IIA как выход из парадокса. Сторонники рейтинговых методов голосования утверждают, что IIA является неоправданно сильным критерием, который нарушен в большинстве полезных избирательных систем. Сторонники этой позиции указывают на то, что несоблюдение стандартного критерия IIA тривиально подразумевается возможностью циклических предпочтений. Если избиратели голосуют следующим образом:
Тогда предпочтение группы в парном большинстве состоит в том, что A выигрывает у B, B выигрывает у C, а C выигрывает у A и это дает предпочтение «ножницы-рок-ножницы» для любого парного сравнения.
В этом случае любое правило агрегации, которые удовлетворяет основному мажоритарному требованию о том, что кандидат, получивший большинство голосов, должно победить на выборах, не будет соответствовать критерию IIA, если социальные предпочтения должны быть транзитивными или ациклическими. Чтобы увидеть это, предполагают, что такое правило удовлетворяет IIA. Поскольку предпочтения большинства соблюдаются, общество отдает предпочтение A - B (два голоса за A> B и один за B> A), B - C и C - A. Таким образом, создается цикл, который противоречит предположению о том, что социальные предпочтения транзитивны.
Итак, теорема Эрроу действительно показывает, что любая избирательная система с большинством побед - нетривиальная игра, и что теория игр должна использоваться для прогнозирования результатов большинства механизмов голосования. Это может рассматриваться как обескураживающий результат, потому что игра не должна иметь эффективных равновесий, например, голосование может привести к альтернативе, которую никто в действительности не хотел, но за нее проголосовали все.
Рациональный коллективный выбор механизма голосования по теореме Эрроу не является целью принятия социальных решений. Часто достаточно найти какую-то альтернативу. Подход, сфокусированный на выборе альтернативы, исследует либо функции социального выбора, которые отображают каждый профиль предпочтений, либо правила социального выбора - функции, которые отображают каждый профиль предпочтений в подмножество альтернатив.
Что касается функций социального выбора, то хорошо известна теорема Гиббарда-Саттертвейта, которая гласит, что если функция социального выбора, диапазон которой содержит хотя бы три альтернативы, является стратегически устойчивой, то она является диктаторской. Рассматривая правила социального выбора, считают, что за ними стоят социальные предпочтения.
То есть рассматривают правило, как выбор максимальных элементов - лучших альтернатив какого-либо социального предпочтения. Множество максимальных элементов социального предпочтения называется ядром. Условия существования альтернативы в ядре исследовались в двух подходах. Первый подход предполагает, что предпочтения являются, по меньшей мере, ациклическими, что необходимо и достаточно для того, чтобы предпочтения имели максимальный элемент в любом конечном подмножестве.
По этой причине это тесно связано с расслабляющей транзитивностью. Второй подход отбрасывает предположение об ациклических предпочтениях. Кумабе и Михара приняли этот подход. Они сделали более последовательное предположение, что индивидуальные предпочтения имеют максимальное значение.
Существует несколько показателей неприятия риска, выраженных функцией полезности в теореме Эрроу Пратта. Абсолютное неприятие риска - чем выше кривизна u (c), тем выше неприятие риска. Однако, поскольку ожидаемые функции полезности не определены однозначно, необходима мера, остается постоянной по отношению к этим преобразованиям. Одна из таких мер является Эрроу-Pratt мера абсолютного неприятия риска (ARA), после того как экономисты Кеннет Эрроу и Джон У. Pratt определили коэффициент абсолютного неприятия риска, как
A (c) = - {u "" (c)}/ {u "(c)},
где: u "(c) и u "" (c) обозначают первую и вторую производные по отношению к "с" из "u (c)".
Экспериментальные и эмпирические данные в основном соответствуют снижению абсолютного неприятия риска. Мера относительного неприятия риска Эрроу Пратта (АСР) или коэффициента относительного неприятия риска определяется:
R (c) = cA (c) = {-cu "" (c)} /{u "(c) R (c).
Как и в случае абсолютного неприятия риска, используются соответствующие термины постоянное относительное неприятие риска (CRRA) и уменьшение / увеличение относительного неприятия риска (DRRA / IRRA). Преимущество этой величины состоит в том, что она все еще является действительной мерой неприятия риска, даже если функция полезности изменяется от склонности к риску, то есть полезность не является строго выпуклой / вогнутой по всем «c». Постоянный RRA подразумевает уменьшение ARA теории Эрроу Пратта, но обратное не всегда верно. В качестве конкретного примера неприятия постоянного относительного риска, функция полезности: u (c) = log (c), подразумевает RRA = 1.
Левый график: функция полезности, предотвращающая риск, является вогнутой снизу, а функция полезности, склонная к риску, является выпуклой. Средний график - в пространстве ожидаемых значений стандартного отклонения, кривые безразличия к риску имеют наклон вверх. Правый график - с фиксированными вероятностями двух альтернативных состояний 1 и 2 кривые безразличия, не склонные к риску, по парам результатов, зависящих от состояния, являются выпуклыми.
Первоначально Эрроу отверг кардинальную полезность, как важный инструмент выражения социального благополучия, поэтому он сконцентрировал свои требования на ранжировании предпочтений, но позже пришел к выводу, что кардинальная рейтинговая система с тремя или четырьмя классами является вероятно, лучшей. Общественный выбор по теореме «О невозможности» предполагает, что индивидуальные и социальные предпочтения являются упорядоченными, то есть удовлетворенность полнотой и транзитивностью в различных альтернативах. Это означает, что, если предпочтения представлены функцией полезности, ее значение полезно в том смысле, что оно имеет смысл, поскольку более высокое значение означает лучшую альтернативу.
Практические приложения теоремы используется для оценки широких категорий систем голосования. Главный аргумент Эрроу утверждает, что системы голосования по порядку должны всегда нарушать, по крайней мере, один из критериев справедливости, которые он изложил. Практическим следствием этого является то, что системы голосования, которые не приведены в порядок, должны быть изучены. Например, рейтинговые системы голосования, где избиратели дают каждому кандидату баллы могут соответствовать всем критериям Эрроу.
На самом деле механизм голосования, рациональный коллективный выбор по Теореме Эрроу и последующий диалог, невероятно вводили в заблуждение в области избирательной. Часто студенты и неспециалисты считают, что ни одна система голосования не могут соответствовать критериям справедливости Эрроу, тогда как, на самом деле, рейтинговые системы способны соответствовать и удовлетворяют всем критериям Эрроу.
ТЕОРЕМА НЕВОЗМОЖНОСТИ ЭРРОУ
(Arrow\"s impossibility theorem) Теорема, согласно которой в экокомической модели, включающей нескольких человек, голосование большинством голосов отнюдь не всегда порождает равновесную ситуацию. Пусть три лица, 1, 2 и 3, последовательно ранжируют по степени предпочтения три ситуации, А, В и С. Если лицо 1 ставит ситуации в порядке А, В, С, лицо 2 – В, С, А, а лицо 3 – С, А, В, то при принятии нестратегического решения большинством голосов оказывается, что ситуация А предпочтительнее ситуации В, В предпочтительнее С, а С предпочтительнее А. Заметим, однако, что в данной теореме ничего не говорится о неизбежности столь парадоксального положения и даже о его вероятности, а всего лишь утверждается, что оно возможно в принципе.
[править]
Материал из Википедии - свободной энциклопедии
Теорема Эрроу (также известна как «Парадокс Эрроу », англ. Arrow ’ s paradox ) - теорема о невозможности «коллективноговыбора». Сформулирована американским экономистом Кеннетом Эрроу в 1951 году.
Смысл этой теоремы состоит в том, что в рамках ординалистского подхода не существует метода объединения индивидуальных предпочтений для трёх и более альтернатив, который удовлетворял бы некоторым вполне справедливым условиям и всегда давал бы логически непротиворечивый результат.
Ординалистский подход основывается на том, что предпочтения индивидуума относительно предлагаемых к выбору альтернатив не могут измеряться количественно, а только качественно, то есть одна альтернатива хуже или лучше другой.
В рамках кардиналистского подхода, предполагающего количественную измеримость предпочтений, теорема Эрроу в общем случае не работает.
Пусть есть N ≥2 избирателей, голосующих за n ≥3 кандидатов (в терминах теории принятия решений кандидатов принято называтьальтернативами ). У каждого избирателя есть упорядоченный список альтернатив. Система выборов - функция, превращающая набор из N таких списков (профиль голосования ) в общий упорядоченный список.
Система выборов может обладать такими свойствами:
Универсальность
Полнота
Монотонность
Если во всех N списках некоторая альтернатива x останется на месте или поднимется выше, а порядок остальных не изменится, в общем списке x должен остаться на месте или подняться.
Отсутствие диктатора
Нет избирателя, предпочтение которого определяло бы результат выборов независимо от предпочтений других избирателей.
Независимость от посторонних альтернатив
(англ. independence of irrelevant alternatives ) Если для любой пары альтернатив x и y профиль голосования изменится, оставив порядок x и y тем же, не изменится их порядок и в окончательном результате.
Многообразие процедур, пригодных для принятия коллективных решений, побуждает задуматься, есть ли среди них такие, которые идеальным образом соответствовали бы достаточно полному набору естественных требований (аксиом). Знакомство с теоремой Мэя и парадоксом Кондорсе заставляет скептически относиться к такой возможности. Генерализованный ответ на обсуждаемый вопрос дает теорема о невозможности , доказанная Кеннетом Эрроу в 1951 г.
Теорема утверждает, что не существует правила коллективного выбора у удовлетворяющего одновременно следующим шести требованиям.
Теорему можно сформулировать и иным образом, введя важное понятие рационального выбора. Выбор является рациональным, если он отвечает требованиям полноты и транзитивности. Рациональность индивидуального выбора – одна из ключевых аксиом микроэкономики.
Коллективный выбор не всегда рационален, как мы убедились, рассматривая парадокс голосования. Теорема Эрроу говорит о том, что не существует правила рационального коллективного выбора, которое было бы универсальным, отвечало бы принципу эффективности по Парето, было бы независимо от посторонних альтернатив и при этом предполагало бы подлинно коллективное решение, не сводящееся к фиксации предпочтений одного индивида.
Приступая к доказательству теоремы, прежде всего введем понятие решающей коалиции голосующих. Решающей коалицией является такая совокупность индивидов, входящих в общее число участников коллективного выбора, что при единогласии внутри этой коалиции позиция ее членов становится результатом коллективного выбора. Иными словами, если для всех членов решающей коалиции xR ty, то xRy. Коалиция может быть решающей только для конкретной пары альтернативных вариантов, тогда она называется решающей коалицией, например, для а против b. В то же время могут существовать коалиции, решающие для любой допустимой пары альтернатив; такие коалиции называют решающими без указания конкретной пары.
Докажем, что, если выполняются шесть перечисленных выше условий, то для произвольной пары альтернатив найдется решающая коалиция, состоящая из одного члена.
Выберем некоторую пару альтернатив х и у . Рассмотрим множество решающих для нее коалиций. Это множество не пусто, поскольку из аксиомы единогласия следует, что по крайней мере вся совокупность голосующих составляет решающую коалицию. Вместе с тем правило, удовлетворяющее шести аксиомам, не может быть правилом единогласного принятия решений, так как последнее не отвечает требованию универсальности. Всего лишь при двух участниках, если и (индексы обозначают номера голосующих), единогласное решение не может быть найдено. Следовательно, если существует правило, отвечающее всем шести требованиям, то найдется решающая коалиция для х против у с числом членов меньшим, чем общее число голосующих.
Выберем наименьшую по числу членов решающую коалицию для х против у и обозначим ее Т. Т включает хотя бы двух индивидов (в противном случае это решающая коалиция для х и у , состоящая только из одного члена). Разделим Т на две подгруппы. Пусть в первую из них (назовем ее D ) входит один голосующий, а во вторую (V) – остальные члены наименьшей решающей коалиции для х против у (их может быть один или больше). Совокупность голосующих, не относящихся к T , обозначим W. Поскольку речь не идет о правиле единогласного принятия решений, W не пусто.
Возьмем любую третью альтернативу z. В силу универсальности найдется такой профиль предпочтений, что:
где – нестрогие предпочтения всех членов подгрупп D, V и W.
Поскольку подгруппы D и V вместе составляют решающую коалицию для х против у, то из (4.1) и (4.2) следует xRy.
В то же время V не является решающей коалицией (иначе она была бы решающей в том числе для х и у). Поскольку х, у и z выбираются произвольно, то V, не будучи решающей коалицией, не окажется решающей и для всех возможных z против у. Следовательно, выбор V между z и у блокируется выбором D и W. Значит, из (4.1) и (4.3) вытекает, что невозможно zRy. Таким образом, получаем yRz.
В силу транзитивности: xRz. Однако согласно (4.2) и (4.3) из всех участников голосования только D может строго предпочитать альтернативу х альтернативе z. Получается, что выбор D, а это один человек, определяет общее решение, несмотря на противостояние всех остальных голосующих. Значит, по крайней мере в отношении альтернатив х и z (а они выбраны произвольно) существует "диктатор".
Докажем теперь, что коалиция D, состоящая из одного члена, является решающей для любой пары альтернатив а и b, если эта коалиция – решающая для некоторой пары x и z.
Теперь W будет обозначать совокупность всех участников коллективного выбора, кроме единственного голосующего D, который выступает в роли решающей коалиции для х против z.
Возьмем любую альтернативу а и рассмотрим ситуацию, когда:
Такие предпочтения найдутся в силу полноты и универсальности.
Поскольку D – решающая коалиция для х против z, то xRz. В силу аксиомы единогласия zRa. Поскольку предпочтения транзитивны, xRa.
Из аксиомы независимости от посторонних альтернатив следует, что, если исключить из (4.4) и (4.5) предпочтения, затрагивающие z, последний вывод не изменится. Таким образом, при и всегда имеет место xRa. Но это означает, что D – решающая коалиция для х против любого а.
Теперь возьмем произвольную альтернативу Ь. Рассмотрим ситуацию, когда:
По аналогии с предыдущим рассуждением, bRa, и, следовательно, D – решающая коалиция для b против а. Между тем в роли b и а могут выступать любые альтернативы. Итак, при рассмотрении всякой пары альтернатив исход коллективного выбора совпадает с выбором, который делает коалиция D, состоящая из одного члена. Теорема доказана.
Теорема о невозможности дает на первый взгляд неожиданный ответ на вопрос о перспективах демократического решения проблем, возникающих в обществе. В действительности этот ответ, с одной стороны, достаточно тесно связан с тем, что обсуждалось нами ранее, а с другой – вовсе не означает бесперспективности всякого демократического устройства политической жизни. Принципиальное значение теоремы Эрроу состоит как раз в том, что она обрисовывает ключевые предпосылки осуществимости (или неосуществимости) рационального демократического выбора.
Обратим внимание, что в числе аксиом, сформулированных в данном параграфе, находятся аксиомы полноты, единогласия и универсальности. Это значит, что условия теоремы допускают выбор между всевозможными Парето-эффективными состояниями при самых разных профилях предпочтений. Однако мы знаем, что такого рода выбор предполагает улучшение положения одних индивидов за счет других. Он влечет за собой непримиримые конфликты, и, как мы видели применительно к правилу простого большинства, провоцирует формирование неустойчивых коалиций. Теорема Эрроу говорит, в частности, о том, что в подобных ситуациях полностью гарантировать устойчивость (транзитивность) выбора удается лишь ценой отказа от его коллективного характера, иначе говоря, за счет появления "диктатора".
На деле ослабить значимость проблемы, о которой идет речь, помогают конституционные ограничения вариантов перераспределения. Это очевидным образом сокращает набор альтернатив, из которых может делаться коллективный выбор, т.е. означает отказ от требования полноты.
Успеху коллективного выбора способствует также формирование сообществ на базе предпочтений, разделяемых всеми членами. Таковы, например, клубы, политические партии и т.д. Применительно к ним незначима аксиома универсальности. Принятие устойчивых коллективных решений в сообществах, члены которых разделяют общие ценности, гораздо более достижимо, чем в произвольных группах индивидов.
Аксиома независимости от посторонних альтернатив тесно связана с отказом от учета интенсивности индивидуальных предпочтений. Уместность такого отказа может показаться весьма сомнительной, и, например, правило Борда отражает интенсивность, а применение этого правила не ведет к циклическому голосованию. Проблема, однако, в том, что одновременный учет интенсивности предпочтений многих индивидов предполагает сравнение и соизмерение присущих каждому из них "шкал" полезности. То же правило Борда, по существу, есть способ суммирования интенсивностей индивидуальных предпочтений.
Между тем межличностная сопоставимость шкал полезности представляет собой весьма сильное предположение. Во всяком случае, сопоставление немыслимо без некоторых допущений об относительной значимости благосостояния разных индивидов для общества. Эти допущения, в принципе, могут основываться на консенсусе, предпочтениях большинства и т.д. Однако в таком случае они сами есть продукты коллективного выбора, а мы обсуждаем здесь его исходные условия. Вместе с тем на практике демократии не обходятся без неких явно или неявно фиксируемых представлений о значимости позиций отдельных индивидов. Например, влияние интенсивности предпочтений по отношению к кандидатам на выборные посты неодинаково сказывается при наличии или отсутствии первичных внутрипартийных выборов (того, что в США называется праймериз). В конечном счете теорема Эрроу позволяет понять, почему при наличии разнонаправленных интересов никакой вариант демократического устройства не гарантирует достижения идеала в сфере общественного выбора. Однако отсутствие демократии означало бы отсутствие коллективного выбора, как такового. Вместе с тем, при полном совпадении интересов граждан государство с его принуждающей силой не требовалось бы. В последующих параграфах этой главы нам предстоит рассмотреть, как реальные интересы действующих индивидов детерминируют политические процессы в условиях демократии.
Доказывающей невозможность демократических выборов без элементов диктатуры, скрываются более сложные проблемы, нежели поиск новой математической модели голосования.
Когда выбираешь какое-то действие, ты выбираешь и последствия этого действия
Наткнувшись на «теорему невозможности» К.Дж. Эрроу, невозможно было удержаться от того, чтобы, как выразился один знакомый, не «поточить об неё рога». Суть её в том, что способ голосования может быть избавлен от произвольности, безвыходных положений или неравноправия, но не может избежать этих недостатков одновременно. Самая правильная система выборов в самом демократичном обществе способна привести к ситуации равновесия предпочтений голосующих, которая неразрешима демократическими средствами, а диктаторские недопустимы по определению. Теорема описана и комментируется так, как будто она – краеугольный камень демократии (чтобы читатель не утруждал себя поиском источника – см. Приложение 1). То есть, Эрроу математически доказывает, что реальная демократия не может быть полной.
Но действительно ли идеал демократии сводится к математической модели процедуры голосования, избавленной от произвольности, безвыходных положений и неравноправия? Или это просто красивая теория, не имеющая отношения к реальности? Действительно ли демократия исключает произвол или неравноправие? Увы, не исключает даже теоретически. Например:
1. Не все признаются гражданами.
4. Значимость одних и тех же критериев у разных граждан всегда будет различаться, равно как и осведомлённость о соответствии кандидатов этим критериям. Отсюда следует неравная компетентность избирателей при равном «весе» их голосов.
5. Принципы демократии распространяются лишь на очень небольшую часть общественных отношений даже в самых образцово-показательных государствах, считающихся эталонами демократии, да и то лишь в ограниченное время в особых ситуациях. Во всём остальном предпочтение отдаётся диктатуре, явной или косвенной. Реальная демократия предусматривает не только равные права, но и неравные возможности в большей части областей жизни общества. Американцы, столь ревностно относящиеся к своим демократическим правам, равнодушны к разнице между выборами президента промышленной корпорации и президента «корпорации Америка».
Если разобраться по существу, аксиомы Эрроу есть сами по себе диктаторские правила голосования. Ограничения на число кандидатов и по их квалификации тоже вводятся вполне диктаторски. Как бы демократично не избирали парламент, но законы он будет вводить вполне диктаторски, не спрашивая мнения избирателей. По существу это означает необходимость переосмыслить понятие демократии.
Демократия – это выборы лучшего кандидата на роль руководителя какого-то проекта. Тем самым подразумевается, что в обществе существует определённое неравенство в отношении способностей руководить этим проектом. Возникает вопрос: могут ли те, кто разбирается хуже (прямо скажем, совсем не разбираются, судя по опыту с «кухарками»), выбрать того, кто разбирается лучше? А если не могут, то чего стоит их мнение и зачем вообще нужен выбор? Если граждане различаются по способности оценивать истинные критерии, то они должны различаться и по «весу» своего голоса. Эрроу не рассмотрел эту ситуацию: выбор должен производиться людьми, компетентными в работе, которую предстоит выполнять избранному, а избиратели таковыми не являются по определению. Следовательно, они не в состоянии оценивать по истинным критериям пригодность кандидата. Отсюда следствие: право избирать должно быть уравновешено способностью оценивать. Не зря ведь в самых демократически продвинутых государствах часть категорий граждан не допускается к выборам по ряду причин. Например, дети: они слишком, видите ли, некомпетентны по сравнению со взрослыми (как будто немалая часть тех более компетентна). Да и не существует естественная чёткая граница между имеющими право голосовать и не имеющими. Граница проводится вполне диктаторски, не спрашивая мнения избирателей.
Или вот, скажем, президентом США можно быть лишь два срока, а президентом Федеральной резервной системы США – пять. А ведь несколько слов последнего, оброненных в разговоре, имеют куда более серьёзные последствия.
Ради пущей демократии признано целесообразным существование института пожизненных судей с сугубо диктаторскими полномочиями. В том смысле, чтобы политическая конъюнктура не влияла на их профессионализм. Можно подумать, что те судьи живут на Луне. А разве другие государственные люди не должны проявлять свой профессионализм так же независимо?
Вспомним реликтовую уже форму демократии – непосредственную, типа вече. Она предусматривала равноправие граждан при решении общих для них вопросов (теоретически, по крайней мере). Современная демократия (впрочем, ещё с античных времён) ограничила их равноправие всего одним вопросом: выбором тех, кто эти вопросы будет решать. И, соответственно, одним формальным вопросом: процедурой голосования. Закономерен вопрос: а действительно ли т.н. выборная демократия есть власть народа? Вполне очевидно, что власть принадлежит тем, кому она принадлежит, а народ служит лишь в качестве одного из аргументов в споре претендентов на первые роли.
Но не будем особо заглубляться в политику, хотя обсуждаемая тема сама по себе – сплошная политика. Если рассмотрим проблему по существу, то увидим, что на самом деле теорема Эрроу представляет собой лишь расширенный и усложнённый вариант «буриданова осла» - задачи, которая в абстрактной форме не имеет решения, ибо она и сформулирована так, чтобы не иметь решения: если А=Б, то и Б=А.
Теорема Эрроу отличается лишь тем, что вместо одного осла имеем целое стадо равноправных ослов, а вместо двух стогов – несколько. По условиям игры ослы должны демократически проголосовать, к какому стогу сена идти (а идти должны все вместе). Конечно, вероятность тупика при выборе альтернатив у стада ослов меньше, нежели у одного осла. Но это несущественно, так как имеет значение лишь сама возможность возникновения неопределённости.
Собственно говоря, набор аксиом потребовался математику Эрроу лишь для того, чтобы принудить стадо ослов при оценке альтернатив вести себя как один осёл. То есть, Эрроу тщательно выписал правила, по которым равновесное (критическое) распределение равноправных голосов ослов будет не менее вероятно, чем любое иное. Поэтому вероятность возникновения равновесия между альтернативами сохраняется, как если бы размышлял лишь один осёл, оценивая варианты с разных точек зрения (при равенстве оценок по разным критериям). Эрроу доказал, что выйти из равновесия можно только диктаторскими методами. Иначе говоря: если один осёл будет «несколько более равным», чем другие. Но шестая аксиома воспрещает одному из ослов диктаторски махнуть копытом на демократию и повести за собой стадо к ближайшему к нему стогу (все ослы ведь не могут поместиться в точке), выведя из демократического оцепенения остальных ослов. Или просто пойти туда, куда левая нога захочет.
На самом деле и диктатура сама по себе не есть решение проблемы выбора: что с того, что выбирать между равноценными альтернативами придётся не стаду ослов, а одному ослу, пусть и самому крутому? Один осёл – он сам себе диктатор. Проблема не в голосовании как таковом, а в выборе среди альтернатив, равноценных по какой-то группе критериев.
В реальности живой осёл (как и любое иное живое существо, кроме человека) ни на секунду не замешкается, так как природа встроила в него механизм нарушения равновесия между равными предпочтениями: осёл пойдёт налево. У человека тоже есть такой механизм, но его действие можно увидеть лишь изредка. Например, если человек, оказавшись без компаса в густом тумане, попытается идти прямо, то в действительности он будет идти по дуге.
Указанный выше механизм («диктаторский») у осла и есть способ разрешения парадокса путём выхода за пределы навязываемых им условий.
Почти тоже самое решение предлагал Паркинсон, весьма подробно рассмотревший проблему выбора. В ситуации, когда, по мнению экспертов, ни один из претендентов не обладает перевесом, следует ввести ещё один критерий выбора. Например, спросить у секретарши, какой претендент ей больше нравится. В сущности, так поступает любой человек: столкнувшись с выбором между равноценными альтернативами, он принимается за поиски их признаков, которые можно было бы привлечь в качестве дополнительных критериев оценки и выбора. Но любые дополнительные критерии, используемые после голосования, есть, по Эрроу, проявление диктатуры.
Ситуация хорошо описана в теории катастроф: в критической ситуации (в точке бифуркации) равновесие может нарушить любой незначительный фактор, который в других ситуациях не учитывается. Но Эрроу полагает, что список критериев (факторов) конечен и не может быть произвольно дополнен «после того». Диктатором, естественно. Незначительность дополнительного фактора делает его эквивалентом монетки, используемой для выбора между двумя равноценными альтернативами.
Как всякая теоретическая модель, процедура голосования по Эрроу имеет ограниченное число переменных факторов, при которых она всегда имеет шанс придти к состоянию равновесия. В реальности же число факторов неограниченно и любой эн плюс первый фактор обязательно выведет систему из эн факторов из равновесия. Эрроу посчитал, этот дополнительный фактор обязательно будет диктаторским, во-первых, и что это плохо, во-вторых.
Вряд ли Эрроу не знал, что для разрешения парадокса необходимо выйти за рамки его условий. Вот он 6-й аксиомой и запретил этот выход (из вредности, что ли). Но есть ещё вход: для разрешения парадокса можно прибегнуть к устранению условия его возникновения. В данном случае таковым условием пересмотр пяти его аксиом. Иначе говоря, вполне возможным представляется пересмотр понимания термина «демократия». Вряд ли кто будет спорить с тем, что содержание этого понятия (как и любого иного) со временем меняется.
Всякий специалист ТРИЗ знает, что лучше устранить причину возникновения проблемы, чем бороться с её последствиями, как это предложил Эрроу (другим, естественно). Проще говоря, надо ещё до выборов исключить возникновение патовой ситуации. Такие подходы практикуются не только среди ослов, но и, например, в виде непропорционального представительства в парламенте, когда партия, получившая относительное большинство голосов, получает абсолютное большинство мест. Ещё вариант, совсем не демократический: отстрел, подкуп, шантаж, давление. Но и это не радикальное, тем более – не демократическое, решение: даже в этих условиях возможна патовая ситуация.
Главное в стаде ослов ведь не система подсчёта голосов как таковая. В конце концов, можно придумать кучу приёмов, позволяющих если не избежать, то, хотя бы, выйти из тупикового положения. Например, заимствовав что-то из спорта. В шахматах ничья означает проигрыш претендента и сохранение короны у прежнего чемпиона. Или взять на вооружение яхтенный аналог – гонки с гандикапом. Но это спорт.
В стаде же главное – вовсе не правильный подсчёт очков. В политике, как и в бизнесе, всё решают три фактора: энергия лидера, идея и организация. Можно ли вообще только с помощью сколь угодно изощрённой процедуры подсчёта достаточно достоверно установить наличие этих факторов? И, главное, оценить качество этих факторов?
Если продолжать вполне корректную аналогию с бизнесом, то какой продукт толкают потребителю? И кто потребитель?
Выборы – это тоже бизнес, на котором в роли покупателей выступают финансово-промышленные группы, обладающие определёнными интересами и, главное, деньгами («что хорошо для Дженерал Моторс, то хорошо для Америки»). В роли продавцов – политики и их фирмы (политические партии). Они отвечают за изготовление и поставку товара – организацию (структурирование) электората и преобразование его в голоса. Количество нужных голосов – к.п.д. обработки. Ну, а технология обработки предопределяется характеристиками ослов (сырья). В этом смысле правила подсчёта голосов – это лишь правила прозрачности, корректности подсчёта эффективности политического бизнеса.
Отсюда проблемы демократии, с тревогой отмечаемые большинством европейских социологов: каждый избиратель вынужден думать сам о себе и не иначе. А если каждый думает только о себе, то ничего большого построить не удастся. Люди становятся мелочными. Как недавно заявил некий бизнес-консультант по вопросам телевидения, такие как он, не будут воевать ни за Европу, ни за родную Голландию.
Вспомним 11-е сентября 2002 г. и его последствия в виде существенного ограничения прав и свобод американцев «ради безопасности». Вспомним также высочайший уровень преступности в США. Так вот, лёгкость и скорость, с какой американцы пошли на ограничения своих прав, наводят на мысль, что все эти «демократические ценности» не являются такими уж органично свойственными людям. Свобода и независимость, столь органично присущие двести лет назад американским переселенцам (и основанные, кстати, на наплевательском отношении к таким же правам негров и индейцев), оказались малопригодными для жизни больших, плотных сообществ.
Демократический централизм, изобретённый при социализме, – это, конечно, плохо. Если правящая команда сама определяла, кто пополнит её ряды, и кого из себя выдвинуть, то участие прочего населения было декоративным. Но сейчас парламентарии сами устанавливают правила, по которым новички могут пополнить их ряды и за избирателями остаётся лишь право проголосовать за них. А равное право быть избранным как было, так и осталось фикцией. При достаточной консолидации парламентариев и близких к ним возникает вполне демократически избираемая диктатура. Как Гитлер, например.
Красная революция в Германии и коричневая во Франции после 1-й Мировой войны были подавлены сугубо диктаторскими методами. Зато коричневая революция в Германии была реализована по всем канонам демократических выборов. В сегодняшней Турции голосуют вполне демократически, но если в итоге будут избраны лидеры фундаменталистской ориентации, последует военный переворот, и их сбросят. Демократически выбранный Альенде в Чили вполне диктаторски был убит Пиночетом при поддержке демократичных США.
Конечно, эти соображения не снимают проблемы Эрроу: как быть, если возникла неопределённость? Как быть, если одна половина ослов хочет идти направо, а другая – налево? Но вопрос переносится в иную область: неопределённость эта есть следствие неопределённости с долгосрочными интересами различных финансово-промышленных групп. И, следовательно, проблема в определении этих интересов, зависящих от достоверности прогнозов эволюции страны в целом и, соответственно, разработки средств коррекции неблагоприятных тенденций. Страна одна и поэтому разброс рецептов, равно как и взаимоисключающие рецепты, говорит лишь о некорректности анализа ситуации. Ситуация, знакомая специалистам ТРИЗ по задачам в технической области: неопределённость свидетельствует о низком качестве существующих инструментов решения социальных задач в масштабе государства.
Здесь имеет место не только равенство альтернатив по всем критериям, а и равенство суммарной оценки этих критериев (что, впрочем, не исключает и полного равенства). То есть, голосующим ослам предлагается не идентичные стога как таковые, а выбор направления эволюции стада ослов. Направления эти уже в принципе не могут быть одинаковыми с точки зрения приспособления к грядущим изменениям внешней среды. Скажем, к правому стогу вроде бы движется другое стадо ослов, у левого – наблюдаются некоторые признаки присутствия местного авторитета из семейства кошачьих, а возле среднего поблескивает что-то подозрительно похожее на оптический прицел. Достоинства стогов очевидны, а недостатки – вероятностны и известны рядовым ослам лишь со слов лидеров партий, располагающих всегда неполными разведданными и результатами их анализа. Соответственно, результат голосования и дальнейшая судьба ослов также становятся вероятностными. Иначе говоря, практического смысла демократизм голосования не имеет. Любой вариант хорош, но и чреват. И только если не повезёт, с лидера спросят. Если будет кому и с кого.
Здесь становится очевидной функция выборов как формы обратной связи в гомеостазе социума в условиях неопределённости. Выглядит это как сопоставление прошлого состояния стада с настоящим. И лишь немного – плана и факта. А может ли вообще эта функция быть достаточно эффективной? Если учесть, что ослов объединяет в одно целое лишь общий и поэтому, как правило, простейший фактор, то не может. Особенно в вечевой форме. Парламент не так уж и отличается от вече. Разве что профессионализмом и процедурой. Временной горизонт его видения вперёд – один срок. И опять упираемся в отсутствие инструментов ухода от «метода» проб и ошибок в больших социальных группах, которые, впрочем, плохо наработаны и на уровне малых групп – предприятий (компаний, фирм, корпораций, организаций).
Хороший индикатор неопределённости и, соответственно, качества политических инструментов, это количество партий. Если в государстве существует полсотни партий и десяток фракций (депутатских групп), что хорошего можно сказать об определённости в отношении «вектора развития» такого государства? Правда, и наличие всего одной партии тоже ещё не говорит о том, что она располагает необходимым инструментарием. Думать же, что отсутствие такового можно заменить математическими приёмами, наивно. Или лицемерно. Разве что Эрроу так пошутил. Не случайно же символом демократической партии США выбран именно осёл.
Итак, проблема: теория социума.
Теорема Эрроу также известна как «Парадокс Эрроу» (англ. Arrow"s paradox) -- теорема о невозможности «коллективного выбора». Смысл этой теоремы состоит в том, что в рамках ординалистского подхода не существует метода объединения индивидуальных предпочтений для трёх и более альтернатив, который удовлетворял бы некоторым вполне справедливым условиям и всегда давал бы логически непротиворечивый результат.
Ординалистский подход основывается на том, что предпочтения индивидуума относительно предлагаемых к выбору альтернатив не могут измеряться количественно, а только качественно, то есть одна альтернатива хуже или лучше другой.
В рамках кардиналистского подхода, предполагающего количественную измеримость предпочтений, теорема Эрроу в общем случае не работает.
Рассмотрим различные формулировки теории:
Формулировка 1951 года
Пусть есть N?2 избирателей, голосующих за n?3 кандидатов. У каждого избирателя есть упорядоченный список альтернатив. Система выборов -- функция, превращающая набор из N таких списков (профиль голосования) в общий упорядоченный список. Система выборов может обладать такими свойствами:
Монотонность - если во всех N списках некоторая альтернатива x останется на месте или поднимется выше, а порядок остальных не изменится, в общем списке x должен остаться на месте или подняться.
Отсутствие диктатора - нет избирателя, предпочтение которого определяло бы результат выборов независимо от предпочтений других избирателей.
Независимость от посторонних альтернатив - если профиль голосования изменится так, что альтернативы x и y во всех N списках останутся в том же порядке, то не изменится их порядок и в окончательном результате.
Формулировка 1963 года
В формулировке 1963 года условия Эрроу таковы: универсальность, отсутствие диктатора, независимость от посторонних альтернатив, принцип единогласия - если у каждого избирателя альтернатива x в списке стоит выше y, это же должно быть и в окончательном результате.
Теорема имеет доказательство. Введем следующие обозначения:
I - предпочтения i-го агента; [?"] - профиль предпочтений (кортеж, элементами которого являются предпочтения всех агентов);
W: Ln > L - функция общественного благосостояния; ?W - коллективные предпочтения.
Обозначим O - множество исходов, которые каждый агент ранжирует в соответствии со своими предпочтениями.
Дадим формальные определения:
Парето-эффективность - W парето-эффективна, если для любых исходов o1, o2 ? O, ?i (o1 ?i o2) ? (o1 ?W o2)
Независимость от посторонних альтернатив - W независима от посторонних альтернатив, если для любых исходов o1, o2 ? O и для любых двух профилей предпочтений [?"] и [?"] ? Ln, ?i (o1 ?i" o2 ? o1 ?i" o2) ? (o1 ?W([?"]) o2 ? o1 ?W([?"]) o2)
Отсутствие диктатора - Считаем, что для W отсутствует диктатор, если не существует такого i, что? o1, o2 ? O (o1 ?i o2 ? o1 ?W o2)
Теорема Эрроу. Если |O| ? 3, то любая Парето эффективная, независящая от посторонних альтернатив функция общественного благосостояния W имеет диктатора. Доказательство проведем в 4 этапа.
Этап 1. Утверждение. Если каждый агент помещает исход b в самый верх или самый низ своего списка предпочтений, то и в?W исход b тоже будет либо вверху, либо внизу списка.
Возьмем произвольный профиль [?] такой, что в нем для всех агентов i исход b расположен либо вверху, либо внизу списка предпочтений?i. Теперь допустим, что наше утверждение неверно, т.е. существуют такие a,c ? O, что a ?W b и b ?W c. Изменим тогда профиль [?] так, чтобы для всех агентов выполнялось c ?i a, не изменяя при этом ранжирования остальных исходов. Обозначим полученный профиль [?"]. Так как после такой модификации исход b для каждого агента все равно останется либо на самой верхней, либо на самой нижней позиции в списке его предпочтений, то из независимости W от посторонних альтернатив можно заключить, что и в новом профиле a ?W b и b ?W c. Следовательно, в силу транзитивности?W получаем a ?W c. Но мы предположили, что для всех агентов c ?i a, тогда в силу парето эффективности должно быть c ?W a. Полученное противоречие доказывает утверждение.
Этап 2. Утверждение. Существует агент, который является центральным в том смысле, что, изменив свой голос, он может переместить исход b из самой нижней позиции в списке?W в самую верхнюю позицию в этом списке. Рассмотрим любой профиль предпочтений, в котором все агенты расположили исход b в самом низу своего списка предпочтений?i. Ясно, что и в?W исход b находится на самой нижней позиции. Пусть все агенты начали по очереди переставлять исход b с самой нижней на самую верхнюю позицию в своих списках предпочтений, не меняя при этом ранжирования остальных исходов. Пусть n (диктатор над всеми парами
Этап 3. Утверждение. Выберем из пары
Этап 4. Утверждение. Рассмотрим какой-нибудь исход с. В силу Этапа 2 существует некоторый центральный агент n** для этого исхода, он же является диктатором для всех пар
